A malha a usar numa geometria com vários componentes

No post anterior introduzi considerações sobre a geração de malha para problemas estáticos lineares, uma dos conceitos-chave é que havia a ideia de malha de convergência era a refinação da malha e a solução irá se tornar mais precisa. Neste post ira-se aprofundar como escolher uma malha apropriado para iniciar seus estudos de convergência de malha para problemas de elementos finitos estáticos lineares.

Quais são os diferentes tipos de elementos; como vimos anteriormente existem quatro tipos diferentes de elementos 3D como se vê na IMAGEM01 abaixo.

IMAGEM01

Estes quatro elementos podem ser utilizados em várias combinações para qualquer malha de um modelo 3D. Os modelos 2D não serão muito discutidos aqui porque já possuem os elementos triangulares e quadriláteros disponíveis num subconjunto lógico de 3D ​​que não requer muita explicação extra.

Mas o que não foi mencionado é a profundidade como, quando e porque utilizar estes vários elementos. Os elementos tetraédricos são o tipo de elemento padrão para a maioria dos modelos físicos dos programas de simulação.

Os elementos tetraedros também são conhecidos como um simplex o que significa simplesmente qualquer volume 3D independentemente da forma ou topologia, pode ser juntar-se com malhas tetraédricas, assim como são os únicos elementos que podem ser refinados e possuir uma malha adaptativa, e por isso os tetraédricos serem a primeira opção.

Os outros três tipos de elementos devem ser usados somente quando é necessário fazê-lo, é importante salientar que esses elementos nem sempre serão capazes de gerar malhas numa geometria particular, pelo que o algoritmo para gerar a malha geralmente requer alguma introdução de dados do utilizador para gerar a malha por isso antes de passar por esse esforço é necessário perguntar se é mesmo necessário, tentar-se falar das escolhas por trás dos elementos usados da IMAGEM01. Os elementos em pirâmide são usados ​​apenas durante a criação de uma transição na malha entre paralelograma e tetraédros.

Vale a pena dar um pouco de contexto histórico e da matemática por trás do método de elementos finitos foi desenvolvido bem antes dos primeiros computadores eletrônicos, os primeiros computadores que executaram programas de elementos finitos estavam cheios de tubos de vácuo e circuitos e embora a invenção do transístor levou a grandes melhorias até mesmo os supercomputadores que possuem a mesma velocidade de clock, quase como os acessórios de moda de hoje. Alguns dos primeiros problemas dos elementos finitos foram resolvidos na área de mecânica estrutural e os primeiros programas foram escritos para computadores com pouca memória, assim os elementos de primeira ordem muitas vezes com esquemas de integração especiais foram utilizados para salvar memória e ciclos de clock. No entanto elementos tetraédricos de primeira ordem têm problemas significativos para problemas de mecânica estrutural enquanto os paralelogramas de primeira ordem podem dar resultados precisos. Como legado desses códigos mais antigos muitos engenheiros estruturais ainda vão preferir esses modelos e na verdade o elemento tetraédrico de segunda ordem utilizado para problemas de mecânica estrutural vai dar resultados precisos, embora com requisitos de memória diferentes e tempos de solução do determinado elemento.

A principal motivação para a utilização de programas para este tipo de elementos de tijolo e prisma é que eles podem reduzir significativamente o número de elementos em malha. Estes elementos podem ter índices muito altos de especto relação da aresta maior para o menor enquanto o algoritmo usado para criar uma malha tete vai tentar manter a relação de especto próximo da unidade, e é razoável usar elementos prismáticos de alta relação com o especto de tijolos e quando se sabe que a solução varia gradualmente em determinadas direções, ou se não está muito interessado em resultados precisos nessas regiões é porque já sabe os que os resultados interessantes são de outras partes do modelo.

Primeiro exemplo de uma malha do aro de uma jante como mostrado abaixo na IMAGEM02.

IMAGEM02

A malha do lado esquerdo apenas é composta com elementos teátricos, enquanto a malha da direita tem elementos teátricos a verde, retangulares pode azuis, e prismáticos por rosa, bem como os elementos em pirâmides são de transição entre estas, a malha mista usa elementos teátricos pequenos em torno dos furos e cantos onde se espera tensões mais elevadas, os elementos prismáticos são utilizados nos raios e em torno do aro. Nem o aro nem os raios levarão picos de tensões pelo menos sob uma carga estática e pode-se seguramente assumir uma variação relativamente lenta das tensões nestas regiões. A malha teátricos tem cerca de 145 mil elementos e com cerca de 730 mil graus de liberdade, a malha mista tem perto de 78 mil elementos e cerca de 414 mil graus de liberdade e leva cerca de metade do tempo e memória para resolver. A malha mista leva a interação significativa de configuração do utilizador, enquanto a malha teátrica não requer essencialmente nenhum esforço do ao utilizador.

Note-se que não há uma relação direta entre o grau de liberdade e da memória utilizada para resolver o problema, isto porque os diferentes tipos de elementos têm diferentes requisitos computacionais. A segunda ordem elementos teátricos tem 10 nós por elemento, enquanto um paralelograma de segunda ordem tem 27, isto significa que as matrizes de elementos individuais são maiores e as matrizes do sistema correspondente serão mais densas quando se utiliza uma malha de um elemento paralelograma. A memória seja o tempo para computar uma solução depende do número de graus de liberdade que tem de ser resolvidos assim como a conectividade média dos nós e outros fatores.

IMAGEM03

Segundo exemplo de cargas em molas que é mostrado acima a análise estrutural de uma mola. Uma vez que o deformação é bastante uniforme ao longo da extensão da hélice da mola que faz sentido ter uma malha que descreve a forma geral e transversal mas os elementos relativamente esticada ao longo do comprimento do fio. A malha prismática tem 504 elementos com 9526 graus de liberdade e da malha teátricos tem 3652 elementos com 23434 graus de liberdade, assim embora o número de elementos serem bastante diferentes e o número de graus de liberdade é menor.

IMAGEM04

O terceiro exemplo é de um wafer em que a motivação importante para a utilização de elementos hexagonais e prismáticos é quando a geometria contenha estruturas muito finas numa direção, como por exemplo uma camada epitaxial de material sobre uma bolacha ou uma peça de chapa metálica estampada, ou um composto intercalado. Por exemplo ao observar a IMAGEM04 acima com um traço fino de material padronizado num substrato e malha tetraédricos tem elementos muito pequenos no rastreamento enquanto a malha prisma é composta de elementos finos da região. Sempre que a geometria tem camadas que são cerca de 10-3 ou mais fino do que a dimensão da peça o uso de tijolos e prismas torna-se altamente motivada.

Existem outros exemplos adicionais que necessitam de ser ressaltada que oferece muitas condições de contorno que podem ser usadas ​​em vez de explicitamente a modelação de camadas finas de materiais. Como por exemplo em eletromagnetismo, sendo os seguintes quatro exemplos significativos, para camadas finas de material com elevada e baixa condutividade e permeabilidade respetivamente; a comparação do campo e dielétrica magnético elétrico, a comparação de contacto da impedância, a comparação na fina falha.

Tipos semelhantes de condições de contorno existem na maioria das interfaces físicas, a utilização destes tipos de condições de contorno vai evitar a necessidade de malha tais como camadas inteiramente finas.

Por fim os comentários acima se aplicam apenas aos problemas de elementos finitos estáticos lineares. São necessárias técnicas de geração de malha diferentes para problemas estáticos não-lineares ou se estamos modelando fenômenos no domínio do tempo ou no domínio da frequência. Para resumir o pensamento à que ter em mente que ao iniciar os problemas das malhas de elementos estáticos elementares.

Usar malhas tetraídricas se poder pois exige a interação do utilizador e menos e apoio no refinamento de malha adaptativa, se a solução for conhecida então pode ir variando a direção da malha retangular ou prismática com rácios diferentes nas regiões, e se a geometria contém camadas finas de material, usar tijolos ou prismas para considerar o uso duma condição de contorno, e sempre realizar um estudo da malha requintada e monitorar os requisitos de memória e convergência da solução e como refinar a malha.