Cinemática do TCP na soldadura(Part7)

Continuação – http://rishivadher.blogspot.pt/2016/04/cinematica-do-tcp-na-soldadurapart6.html
5. Problemas de cinemática inversa
De acordo com a seção 3 resolvendo o problema de cinemática inversa para o posicionador significa encontrar o eixo dos ângulos (q₁,q₂) que asseguram a orientação da origem desejada da junta de solda a qual é definida pelo par dos ângulos de orientação problema 1 ou pelo vector de unidade problema 2, irei considerar estes casos separadamente.
5.1. Solução do Problema Inverso 1
Desde a orientação dos ângulos (θ,ζ) ou (θ,ζ’) da junta da soldada ângulos definem-se por completo pela terceira coluna da matriz 3x3 ortogonal ⁰W_R da equação cinemática básica (4) que pode ser reescrita como,

(17)

onde o subscrito 3x3 indica a parte de rotação da matriz de transformação correspondente à transformação homogénea da matriz ηT =[0 0 1], em seguida, após as multiplicações da matriz apropriada pode ser convertido para a forma,

(18)

onde

e sem perda de generalidade a transformação ⁰T_PB é assumida para não incluir os outros  componentes rotacionais a não ser o Rz,.Com as substituições de acordo com a equação (13), três outras equações escolarmente igualmente dependente com duas incógnitas (q₁,q₂):

(19)

Aonde v_x; v_y; v_z; correspondentes são os componentes do vector v: a terceira destas equações pode ser facilmente resolvida por q₁:

(20)

O valor de q2 pode ser encontrado por resolver a primeira e a segunda equações para C₂ e S₂:

Isso leva à seguinte expressão para q₂:

(21)

Portanto as equações (18) e (19) representam a solução duma forma fechada do primeiro problema inverso o que no caso geral para determinada orientação de solda em ângulo (θ,ζ) ou (θ,ζ’) que produz dois pares de ângulos do eixo do posicionador (q₁; q₂):
5.2. Solução do Problema Inverso 2
Para a segunda fórmula os dados data de entrada definem a segunda coluna da matriz ⁰W_R para que a equação cinemática básica (4) possa ser reescrita da seguinte forma:

(22)

em que η=[0 1 0]^T e em seguida após as produto de matrizes apropriadas esta equação pode ser convertida na seguinte forma

(23)

onde

e o índice 3x3 que é da submatriz superior 3x3 que corresponde à matriz homogénea correspondente isto é a sua parte de rotação ortogonal.
A expansão adicional de P(q) de acordo com (12) e os rendimentos reagrupamento relevantes

(24)

ou de forma detalhada,

Que conduz às seguintes equações escalares:

(25)

a partir do qual a terceira pode ser transformada para a forma

e resolvidas para q₁:

(26)

aonde U_xz=S_αU_x–C_αU_z
Deve notar-se que estas duas soluções alternativas para q₁ correspondem a diferentes configurações do posicionador os quais são rigorosamente definidas a seguir. Além disso ambas as soluções devem ser ajustadas para o intervalo de [-π, π], desde que a soma de tan2(.) e cos(.) pode estar fora dos limites mencionados, e para encontrar o valor de q₂ tentarei considerar as duas primeiras equações do sistema (25) e resolvê-los para C₂ e S₂:

(27)

Aonde

Que leva à seguinte equação para q₂:

(28)

Portanto as equações (26) e (28) representam a solução em forma fechada para o segundo problema inverso que no caso geral de dados vectores unitários (u,v) produzem dois pares ângulos do eixo do posicionador (q₁, q₂).
5.3. Existência solução e singularidades
Como decorre na equações (20), (21) e (26), (28), os problemas de cinemática inversa possuem soluções para certos conjuntos de entrada de dados que podem ser tratados como o posicionador da área de trabalho orientação. Assim para algumas entradas o cálculo pode falhar e uma solução não existe se por exemplo um argumento de cos(.) está fora do intervalo de [-1;1]. Em outros casos as singularidades surgem se qualquer valor de q₁ ou q₂ satisfaçam a equação cinemática e se por exemplo ambos os argumentos de um tan(2) são iguais a zero.
Para o primeiro problema inverso, uma investigação detalhada da equação (20) mostra que o valor de q1 pode ser definitivamente calculado se e só somente se

(29)

Tendo em conta o significado geométrico de vz que é o produto escalar dos vectores unitários extraídos a partir das terceira fileiras das matrizes ortogonais ⁰W_R e [^PFT_WB.W_R]_3x3 como se observa na equação (17), (18) e que denota

(30)

esta condição pode ser apresentada como segue:
Proposição 1 – a.
Continuação – https://rishivadher.blogspot.pt/2016/05/cinematica-do-tcp-na-soldadurapart8.html