Continuação – https://rishivadher.blogspot.pt/2016/05/cinematica-do-tcp-na-soldadurapart7.html
Proposição 1a.
Para o problema inverso 1 os valores de q1 pode ser calculados definitivamente a partir da expressão (20) se e só se o ângulo X e o eixo do Z dos quadros conjugadas 0WTR e [PFTWB.WR]T3x3 descrevendo respetivamente a orientação do zero desejada da soldadura da junta e sua orientação em relação ao painel frontal do posicionador que é menor do que (π -2α) ou igual a este:
Proposição 1a.
Para o problema inverso 1 os valores de q1 pode ser calculados definitivamente a partir da expressão (20) se e só se o ângulo X e o eixo do Z dos quadros conjugadas 0WTR e [PFTWB.WR]T3x3 descrevendo respetivamente a orientação do zero desejada da soldadura da junta e sua orientação em relação ao painel frontal do posicionador que é menor do que (π -2α) ou igual a este:
(31)
Para um caso típico de aplicação industrial quando o eixo de Z da estrutura da peça de trabalho é paralelo ao Eixo2 do posicionador a expressão (29) também pode ser reescrita como:
(32)
O valor correspondente de q2 é definida exclusivamente pela expressão (21) se quer o numerador ou denominador não sendo igual a zero. Uma investigação detalhada do caso oposto produz vz=–1 e consequentemente q=0 no caso de vz=–1 é excluída por causa da desigualdade de (29), assim a existência e unicidade de soluções para q2 estão sujeitos à seguinte proposição:
Proposição 1b.
Para problema inverso 1 o valor de q2 para um dado q1 pode ser calculado de forma única a partir da Equação (21) se e apenas se o eixo dos Z dos quadros conjugadas 0WTR, [PFTWB.WR]T3x3 e não são coincidentes ou seja x> 0, caso contrário se estes eixos coincidir isto é W=0, então q1=0 e nenhum valor do q2 satisfaz a equação cinemática.
Portanto para o primeiro problema inverso a singularidade existe apenas no que diz respeito ao Eixo2 do posicionador enquanto que esteja orientada estritamente vertical para cima isto quando q1=0.
No entanto para o segundo problema inverso a singularidade pode também surgir pelo Eixo1 como se segue a partir da análise da equação (26) à função tan(2) que é indefinida se uxz=0 e uy=0, além disso as equações correspondentes à cinemática são convertidos para a identidade se uz=wz. assim se qualquer valor de q1 é uma solução para esses dados de entrada, a condição correspondente também pode ser apresentada como o paralelismo do vetor u e o Eixo1 bem como a igualdade para os z-componentes de u e w isto se:
Proposição 1b.
Para problema inverso 1 o valor de q2 para um dado q1 pode ser calculado de forma única a partir da Equação (21) se e apenas se o eixo dos Z dos quadros conjugadas 0WTR, [PFTWB.WR]T3x3 e não são coincidentes ou seja x> 0, caso contrário se estes eixos coincidir isto é W=0, então q1=0 e nenhum valor do q2 satisfaz a equação cinemática.
Portanto para o primeiro problema inverso a singularidade existe apenas no que diz respeito ao Eixo2 do posicionador enquanto que esteja orientada estritamente vertical para cima isto quando q1=0.
No entanto para o segundo problema inverso a singularidade pode também surgir pelo Eixo1 como se segue a partir da análise da equação (26) à função tan(2) que é indefinida se uxz=0 e u
(33)
Para garantir a computação definido de q1 é adicionalmente necessário que o argumento de um cos() na equação (26) pertence ao intervalo [-1; 1], após o rearranjo adequado esta condição pode ser apresentado como
Após denotando os ângulos entre os vectores de u, v e do Eixo1; Eixo2; respetivamente como μ, η
e assumindo que (μ,η)∈[0;π]x[0;π] e esta desigualdade pode ser reescrita como
(35)
Isso produz o seguinte domínio para (μ,η):
(36)
Assim os resultados para q1 pode ser resumido como se segue:
Proposição 2a.
Para o problema inverso 2 os valores de q1 podem ser calculados definitivamente a partir da expressão (26) se e se apenas se os ângulos μ,η entre o Eixo1, Eixo do posicionador e dos vetores u, w, que respetivamente satisfazem as desigualdades (36) e além disso μ ≠0 e π. Como caso contrario se (μ,η)=(0,π/2 ±α) em que qualquer valor de q1 satisfaz a equação cinemática.
Como resulta da IMAGEM08 a mais elevada acessibilidade do posicionador no espaço-u é obtida por η∈[π/2-α; π/2+α] e em contraste se η=0 ou π o espaço de trabalho é reduzido a um único cone com o parâmetro μ=π/2-α ou π/2+α.
Proposição 2a.
Para o problema inverso 2 os valores de q1 podem ser calculados definitivamente a partir da expressão (26) se e se apenas se os ângulos μ,η entre o Eixo1, Eixo do posicionador e dos vetores u, w, que respetivamente satisfazem as desigualdades (36) e além disso μ ≠0 e π. Como caso contrario se (μ,η)=(0,π/2 ±α) em que qualquer valor de q1 satisfaz a equação cinemática.
Como resulta da IMAGEM08 a mais elevada acessibilidade do posicionador no espaço-u é obtida por η∈[π/2-α; π/2+α] e em contraste se η=0 ou π o espaço de trabalho é reduzido a um único cone com o parâmetro μ=π/2-α ou π/2+α.
IMAGEM08
De acordo com a equação (26) a computação do q2 pode falhar apenas no caso de wx=wy=0, isto é quando η=0 ou π. Geometricamente que corresponde ao vector de w que é normal ao painel frontal do posicionador e consequentemente não pode ser alternado pela rotação em torno do Eixo2, sendo então a existência e unicidade de soluções para q2 sujeitos à seguinte proposição:
Proposição 2b.
Para o segundo problema inverso o valor de q2 para um dado q1 pode ser calculado duma forma única a partir da equação (27) se e só se apenas se o ângulo de η entre o Eixo2 posicionador e os vectores w satisfação as condições η ≠0 e π. Caso contrário se η=0 ou π em que qualquer valor de q2 satisfaz a equação cinemática desde que a solução para q1 exista.
Portanto para o segundo problema inverso a singularidade pode existir em ambos os eixos quando u é paralelo ao Eixo1 ou w que é paralelo ao Eixo2.
5.4. Configurações do posicionador
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Proposição 2b.
Para o segundo problema inverso o valor de q2 para um dado q1 pode ser calculado duma forma única a partir da equação (27) se e só se apenas se o ângulo de η entre o Eixo2 posicionador e os vectores w satisfação as condições η ≠0 e π. Caso contrário se η=0 ou π em que qualquer valor de q2 satisfaz a equação cinemática desde que a solução para q1 exista.
Portanto para o segundo problema inverso a singularidade pode existir em ambos os eixos quando u é paralelo ao Eixo1 ou w que é paralelo ao Eixo2.
5.4. Configurações do posicionador
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